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소름 돋는 수학의 재미

유리수

놀라운 QR코드

최근 QR코드가 광범위하게 사용되고 있다. 중국 SNS인 위챗 사용자는 약 10억 명으로 많은 사용자가 매일 위챗을 통해 많은 QR코드를 생성한다. 누구도 QR코드가 바닥날 때를 걱정한 적은 없겠지만, 과연 QR코드가 바닥날 날이 있을까? 우선 QR코드가 어떻게 생성되는지 분석해 보자.

보통 1개의 QR코드에는 1000개의 격자가 있다. 1000개의 격자무늬를 흑백색으로 임의로 칠하는 방법은 총 2¹⁰⁰⁰가지다. 하지만 표준의 QR코드는 오류를 바로잡는 코드와 소수의 다른 용도 코드를 포함하고 있으며, 이 역시 격자무늬를 사용해야 한다. 만약 우리가 오류를 바로잡는 코드와 다른 용도에 필요한 코드의 정보 저장 공간이 80%라고 가정하면 이것은 격자 1000개 중에서 200개만 데이터로 활용된다는 것을 의미한다.

보기에 200개의 격자로는 부족해 보이지만, 이는 충분한 수이다. 200개 격자를 흑백으로 임의로 칠하는 QR코드의 수는 2²⁰⁰가지다. 2²⁰⁰이 별로 크지 않다고 생각되는가? 결과는 깜짝 놀랄 만큼 큰 수이다.

2²⁰⁰=1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376

따라서 QR코드의 수는 적어도 이 정도는 된다. 이 숫자는 읽기도 힘들다. 만약 전 세계 모든 사람이 평균적으로 매일 1만 개의 QR코드를 생성한다고 하면 이를 다 쓰는 데는 최소 1000000000000000 00000000000000000년이 걸린다. 지구 수명도 50억 년밖에 안 되는데 다 쓸 수 있을까? 만일 QR코드를 다 쓴 날이 세상의 마지막 날이 된다면 우리는 안심해도 될 것 같다.

항공권이 가짜라니?

철수는 항공권 한 장을 구입했다. 그런데 비행기 탑승 직전에 항공권이 가짜라는 사실을 알게 되었다. 그는 비행기를 탈 기회를 어렵게 잡았는데 이마저도 가짜 표를 샀으니 경제적 손실은 둘째 치고 심적으로 상심이 컸다. 한순간에 기분이 바닥으로 뚝 떨어졌다.

그는 항공권이 가짜라는 것이 믿기지 않아 표를 뚫어져라 반복해서 분석했다. 종이 재질, 색상, 글씨체, 주민번호, 항공권 번호…. 도무지 가짜라고 하기엔 진짜와 너무 똑같다. 도대체 무엇이 문제인지 알 도리가 없었다. 그는 전전긍긍하며 항공사 사무실을 찾았다. 직원은 침착하게 설명해 주었다. 내용인즉, 항공권 번호가 가짜라는 것이다. 그것도 번호 맨 뒷자리에 가짜라는 증거가 있다고 한다. 철수가 다시 보니 항공권 번호가 87654321이다. 도대체 이 번호에 어떤 문제가 숨어 있는 걸까?

일상생활에서 번호를 사용하는 경우는 매우 많다. 따라서 임의 조작, 업무상 착오, 기기 오류 등을 막기 위해 번호 자체에 대한 체크시스템이 설치된다. 이 항공사는 항공권 번호의 마지막 자리 숫자를 체크번호로 사용한다. 예를 들어, 체크번호가 7이라고 하면 마지막 자리를 제외한 나머지 번호를 체크번호 7로 나눈 나머지가 마지막 자리 숫자가 되어야 한다. 가짜 항공권 번호 앞 7자리는 8765432이고, 7로 나누면 나머지가 4이다. 그런데 항공권의 끝자리가 1이므로 가짜임이 확실하다.

이런 체크번호 설정 시스템은 그나마 단순한 종류에 속하는데 신용카드, 신분증 등에 쓰이는 체크번호는 더 까다롭다. 철수는 가짜 항공권임을 확인하고 어쩔 수 없이 집으로 돌아갈 수밖에 없었다.

무리수

무리수와 히파수스

히파수스가 일을 내다

피타고라스 학파는 ‘임의의 두 선분은 정수비로 나타낼 수 있다’고 주장하였다. 실제로 이들은 정수나 분수로 나누는 것 이외에는 다른 수는 없다고 생각하였다.

어느 날, 피타고라스의 학생인 히파수스가 연구 중에 ‘길이가 1, 2인 두 선분의 비례중항’ 등과 같은 문제를 발견하여 이런 선분의 길이는 정수나 분수로 나타낼 수 없다는 것을 발견하였다. 또한 이것은 확실한 결론으로 작도로 표현할 수도 있었는데 바로 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선이다.

이에 히파수스는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이인 이런 수는 ‘정수도 분수도 아닌 새로운 수’라는 제안을 하게 된다. 하지만 이는 기존의 피타고라스 학파가 숭배하는 비례론에 심각한 타격을 입히는 내용이었다. 이는 엄청난 반란과 같은 사건이었다. 당시 피타고라스 학파 내부에는 여러 분파가 생겨났는데 피타고라스를 지지하는 다수가 히파수스의 관점을 이단으로 간주하여 세상에 퍼뜨리지 못하도록 하자는 의견이 제기되었다.

그러나 외부에서는 이미 히파수스의 새로운 발견이 알려졌는데 이는 히파수스 본인이 알린 것으로 조사를 통하여 밝혀졌다. 그러자 피타고라스는 히파수스를 체포하라고 명령했고 이로 인해 히파수스는 다른 나라로 도망가야 했다. 몇 년 후, 조국을 그리워하던 히파수스는 몰래 귀국했다가 피타고라스 제자들에게 들켜 항해 중 바다에 던져졌다.

과학의 발전에는 사람의 지혜뿐만 아니라 용기도 필요하다. 후대 사람들은 히파수스가 발견한 이런 수를 ‘무리수’라고 불렀다. 오랜 기간 수학계는 무리수에 대한 논란으로 혼란스러웠다. 흔히 수학 발전사에 위기가 세 번 있었다고 말하는데 무리수의 발견이 첫 번째 위기로 여겨진다.

수학과 사랑

어떻게 이럴 수 있을까? : 케플러의 결혼 문제

저명한 과학자 케플러는 첫 번째 부인이 세상을 뜨자 새 아내를 찾기 시작했다. 그는 11명의 신부 후보를 만나본 후 꼼꼼하게 기록했다.

케플러는 11명의 모든 후보를 보았지만 한 명도 정하지 못했다. 문제는 어디에 있는 걸까?

케플러는 무엇이 잘못되었는지 생각하기 시작했다. 사실 케플러에게 필요한 것은 최적화 전략이었다. 즉, 가장 성공한다는 보장은 없지만 실망을 최소화할 수 있는 방법이다. 이 문제를 ‘케플러의 결혼 문제’라고 하는데, 다른 사람을 선택해도 마찬가지다.

예를 들어, 당신이 직원을 채용해야 하는 상황에서 20명의 지원자를 일일이 면접해야 한다. 한 사람씩 면접이 끝난 직후 바로 결정해야 하므로 ‘채용’ 또는 싫으면 바로 ‘다음’을 외쳐야 한다. 돌아서서 후회할 수도 없고 채용이 결정되면 선택은 끝난다. 이런 상황에서 최적화 전략은 무엇일까?

마틴 가드너에 따르면, 가장 설득력 있는 방법은 면접 전 후보자의 36.8%는 채용하지 않고, 이후 36.8% 중 가장 좋은 후보가 나오면 바로 채용하는 것이다. 왜 36.8%일까? 이 답은 신비한 무리수 e의 역수가 바로 1/e≒0.368이기 때문이다. 이 공식은 무수한 시행을 거친다고 하더라도 가장 좋은 결과를 보장할 수 없지만, 적임자를 찾을 36.8%의 기회가 있음을 보여준다.

만약 케플러가 당시에 이 공식을 사용했다면 그 결과는 어땠을까? 11의 36.8%가 4이므로 1~4번 후보를 모두 탈락시키고 5번부터는 4번보다 낫다면 케플러가 바로 프로포즈해야 한다는 결론이다.

식과 방정식

방정식은 좋은 것이다

닭과 토끼가 같은 울타리 안에 있다. 모두 74마리이고 발은 모두 234개이다. 이때, 닭과 토끼는 각각 몇 마리인지 구하여라.

산술적인 문제해결은 풍부한 상상력과 토끼가 뛰어오르는 장면을 연출해야 한다. 산술적인 방법이 왜 이렇게 어려울까. 반드시 그렇지는 않을 것이다. 실제로 닭과 토끼의 수를 모르더라도 그 수를 찾을 수 있다. 그 수를 아는 값이라고 여기고 미지수로 두면 된다.

닭을 x마리라고 두면, 토끼는 74-x마리가 된다. 닭은 발이 두 개, 토끼는 발이 네 개이므로 발의 총 개수는 2x+4(74-x)개이다. 또한 문제에서 울타리 안의 닭과 토끼의 발의 총수는 234개라고 하였으므로 2x+4(74-x)=234이므로 이 방정식을 풀면 바로 x=31로 닭이 31마리, 토끼는 43마리임을 알 수 있다.

미지수 x로 두는 방법을 눈여겨보자. 지금 보기에는 상당히 자연스러워 보이지만 인류 발전의 역사상 오랜 시간에 걸쳐 갈고 닦아 만들어진 수학적 사고이다. 중학교 1학년 수학시간에 적지 않은 학생들은 이 문제를 어떻게 풀어야 할까 고민한다. 응용문제를 하나 풀려고 해도 산술적인 사고방법을 이용해야 하니 종이 위에 x를 쓰고 끄적거린다. 방정식 문제를 푸는 사고는 모든 사람이 이용하지 않을 수는 있으나 수학에서 이런 사고는 매우 중요하고 문제해결의 매 장면에 등장한다.

제갈량의 거위털 부채

장비는 군사들에게 진지 구축물을 세우고 병영을 건설하도록 명령했다. 이때, 땅의 면적을 계산하는 도중에 아무리 계산해도 세제곱 값이 나타나 이리저리 고심하며 계산을 시도해 다음과 같은 식을 얻었다.

5³ +2³ / 5³ +3³

식에 세제곱 값이 포함되어 있고 게다가 분수이니 계산을 어떻게 해야 할지 난감했다.

장비는 제갈량을 찾아가 이 식을 어떻게 계산해야 하는지 묻자, 제갈량은 거위털 부채로 지수를 날려버렸다.

5+2 / 5+3

장비는 너무 기뻤다. 어떻게 이렇게 간단할 수 있는가!

그런데 장비 옆에서 보고 있던 조운은 뭔가 미심쩍었다. “정말 이렇게 계산하면 맞는 게 확실합니까? 어째서 지수를 그냥 날려버리면 되는 것인지요?”라며 혼자 계산을 하였다.

5³ +2³ / 5³ +3³ = 125 + 8 /125 + 7 = 133 / 152 = 7/8

‘정말이야! 어떻게 이렇게 딱 들어맞을 수 있는 걸까?’ 놀란 조운은 다시 제갈량에게 물었다. 제갈량은 무엇인가를 쓴 비단주머니를 조운에게 혼자서 보라며 넘겼다. 조운이 비단주머니를 열자, 공식 하나가 쓰여 있었다.

a³ + b³ / a³ + (a−b)³ = a + b / a + (a−b)

수열과 극한

'세계의 종말'은 언제일까?

수학에도 세계 종말에 얽힌 이야기가 하나 있다. 인도에는 절이 하나 있는데 기둥이 세 개라고 한다. 첫 기둥에는 크기가 다른 64개의 고리가 걸려있고 작은 고리는 큰 고리 위에 있다. 64개의 고리를 모두 세 번째 기둥으로 이동하려면 다음과 같은 규칙을 따라야 한다.

첫째, 매번 하나의 고리를 움직인다.

둘째, 큰 고리는 작은 고리 위에 놓을 수 없다.

이 이야기는 수학에서 꽤 유명한 세계 종말에 관한 문제이다. 셋째 기둥에 64개의 고리를 모두 옮기기 위해 몇 번을 이동해야 하는지 계산해 보자.

관점을 바꾸어 생각해 보자. 예를 들어 n=3일 때, 문제를 크게 세 부분으로 나눌 수 있다. 첫 번째, 위의 두 둥근 고리를 두 번째 기둥으로 옮긴다. 두 번째, 맨 아래 가장 큰 둥근 고리를 세 번째 기둥으로 옮긴다. 세 번째, 두 번째 기둥에 있는 두 둥근 고리를 세 번째 기둥으로 옮긴다.

이 세 부분 중 두 번째에서 한 번 움직였고, 첫 번째와 세 번째에서는 각각 2번, 즉, 두 둥근 고리를 이동하는 데 필요한 횟수였다.

이로써 a₃ = 2a₂+1 임을 알 수 있다.

이런 식으로 만약 (n+1)개의 둥근 고리가 있을 때, 이 경우도 세 단계로 나누어 생각할 수 있다. 첫 번째, 위의 n개의 둥근 고리를 두 번째 기둥으로 옮긴다. 두 번째, 맨 아래 가장 큰 둥근 고리를 세 번째 기둥으로 옮긴다. 세 번째, 두 번째 기둥에 있는 2개의 둥근 고리를 세 번째 기둥으로 옮긴다.

따라서 a_n+1=2a_n+1임을 알 수 있다.

그렇다면 스님들이 둥근 고리를 모두 세 번째 기둥으로 옮기려면 과연 몇 번을 움직여야 할까? 순환 공식에 따라 계산할 수도 있고, 그것을 일반화하여 a_n=2ⁿ-1로 바꿀 수도 있다. 이를 통해 a₆₄=2⁶⁴- 1로 계산된다.

2⁶⁴- 1은 얼마나 큰 값일까? 계산기로 확인해 보면 2⁶⁴- 1≒ 1.8 × 10¹⁹이다,

즉, 둥근 고리를 1.8×10¹⁹번 움직여야 64개의 둥근 고리를 모두 세 번째 기둥으로 옮길 수 있다는 얘기다. 만약 둥근 고리를 한 번 이동하는 데 1초가 걸린다고 가정하면 모든 둥근 고리를 이동시키는 데 필요한 시간은

(1.8×10¹⁹) ÷ 3600 ≒ 5×10¹⁵ (시간)

(5×10¹⁵) ÷ 24≒ 2×10¹⁴ (일)

(2×10¹⁴) ÷ 365 ≒ 5×10¹¹ (년)

바로 5000억 년이다! 현대 과학은 태양계가 약 46억 년 전에 형성되었으며 태양 에너지는 100억에서 150억 년 더 유지될 것으로 본다. 이는 신화 속 5000억 년보다 훨씬 적은 수이다.

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본 정보는 도서의 일부 내용으로만 구성되어 있으며, 보다 많은 정보와 지식은 반드시 책을 참조하셔야 합니다.