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아인슈타인과 논쟁을 벌여봅시다

러더퍼드와 함께 아침을 먹어봅시다 : 빵 한 조각으로 시작된 물질의 구성에 관한 고찰

0에서 출발해 0으로 끝나다

우주에는 언뜻 반짝이는 별들이 빼곡히 늘어서 있을 것 같지만 실제로는 매우 듬성듬성 자리 잡고 있다. 100억 광년 떨어진 별에서 출발한 빛줄기가 아무런 막힘없이 우주를 관통해 지구에 도착할 수 있는 이유도 바로 이러한 특징 때문이다. 인간이 육안으로 관찰할 수 있는 물체들은 사실 아주 작은 단위의 구조로 이루어져 있다. 과학자들은 미시 구조를 연구하는 과정에서 미시 세계 역시 굉장히 듬성듬성한 구조로 이루어져 있다는 사실을 발견했으며, 아직까지 완전히 하나로 이루어진 ‘실체’는 찾지 못한 상태다.

고대 그리스에서는 데모크리토스를 시작으로 많은 사람들이 물질을 이루는 기본 구조를 찾고, 객관적 세계의 실재를 증명하기 위해 노력했다. 물질이란 나무 블록을 쌓는 것처럼 대자연의 온전한 실체를 가진 작은 나무 블록들이 차곡차곡 쌓여 커다란 구조를 이룬다고 생각했다. 쌓아 올리는 나무 블록의 크기가 아무리 작아도 그것을 이해하고 받아들이는 데 어려움이 없었다. 그러나 근대에 이르러 과학 기술이 비약적으로 발전하면서 새롭게 알게 된 사실은 그동안 진실이라 믿어왔던 것과 너무나 달랐다. 새로운 과학 기술은 오히려 물질을 구성하는 근본적인 실체를 발견하지 못했으며 심지어 실체가 없을 거란 주장을 하고 있다.

만약 우리가 사는 세상이 완전한 실체로 이루어진 것이 아니라고 한다면 수학자들은 가장 먼저 숫자 ‘0’을 떠올릴 것이다. 다시 말해, 우리가 사는 세상은 ‘0’으로 이루어져 있다는 의미다.

1929년 과학자들은 물질의 구조보다 더 놀라운 발견을 하게 된다. 그해 미국의 천문학자 허블은 자신이 만든 망원경으로 천체를 관찰하다가 모든 별이 서로 멀찍이 떨어져 있으며, 점점 더 멀리 그리고 빠른 속도로 멀어지고 있다는 사실을 발견했다. 허블의 발견으로 사람들은 우주가 정적이고 항구적인 곳이 아니라 여전히 동적으로 변화하고 있는 곳이라는 사실을 알게 되었다. 이러한 발견은 그동안의 믿음을 완전히 뒤집어 버리는 것이었다.

그 이후 우주 마이크로파 배경의 발견과 헬륨 질량비 측정 등을 통해 우주가 약 138억 년 전 한 차례의 대폭발로 탄생했으며, 대폭발이 일어난 아주 짧은 순간 동안 특이점에서 방출된 거대한 에너지와 물질이 계속 팽창하다가 오늘날의 세상을 만들었다는 결론에 이르렀다. 대폭발 우주론에 따르면 우주의 탄생은 ‘0’ 혹은 ‘0’에 무한히 가깝다는 특이점에서 시작되었다. 그리고 ‘0’은 대폭발의 방식을 통해 끝없이 펼쳐진 세상을 만들어냈다.

만약 대폭발 우주론이 사실이라면 모든 것은 ‘0’에서 시작되어 오늘날까지 크고 아름다운 모습으로 발전한 것처럼 보이지만 본질은 여전히 ‘0’인 셈이다. 다시 말해, 우리가 사는 세상은 ‘0’에서 출발해 다시 ‘0’으로 귀결된다는 의미다.

후크, 뉴턴과 함께 실험해 봅시다 : 300년 동안 이어진 입자와 파동의 논쟁

만물의 형태

입자 이야기

1589년 이탈리아의 과학자 갈릴레이는 많은 사람들을 이끌고 피사의 사탑으로 갔다. 그는 사람들이 지켜보는 가운데 무게 100파운드짜리 쇠구슬과 1파운드짜리 쇠구슬을 동시에 땅으로 떨어트렸다. 피사의 사탑 중력 실험은 물리학의 대표적인 실험 중 하나로, 자유 낙하 속도는 물체의 무게와 상관이 없다는 사실을 증명했다.

갈릴레이는 공이 곡선을 따라 낙하하는 과정을 상상하며, 만약 곡선의 표면이 매끈할 경우 경사면을 타고 내려온 공은 앞으로 끝없이 굴러갈 것이라고 주장했다. 이때 곡선의 경사가 낮아져도 공은 계속 굴러가고, 공은 수평면에 완전히 내려와도 처음의 속도로 계속 앞으로 굴러간다. 이러한 현상을 훗날 뉴턴은 ‘관성의 법칙’이라는 중요한 물리학 법칙으로 정리했다.

- 관성의 법칙 : 물체에 작용하는 외부의 힘이 없을 때 물체는 정지상태로 있거나 같은 속도로 운동을 계속한다.

갈릴레이는 실험을 할 때 공의 형태와 크기는 고려하지 않았다. 사실상 그는 공을 완벽히 이상적인 물체로 간주한 것이다. 관성의 법칙은 모든 입자와 입자로 구성된 물질에 적용된다. 과학자들은 물질의 본질적인 특성인 관성을 이용해 복잡한 물체를 입자로 추상화하고, 점입자 분석을 통해 여러 가지 물리학 법칙을 증명했다.

뉴턴은 갈릴레이가 사물을 분석하던 방법을 전승받아 이론을 더욱 확대하고 발전시켰다. 또한 그는 점입자에 작용하는 힘 분석을 통해 운동의 3가지 법칙을 정리하고 고전 역학을 창시했다.

- 뉴턴의 운동 제3법칙 : 작용이 있으면 반작용이 있고, 두 힘의 크기는 같으며 방향은 서로 반대다.

점입자가 벽에 충돌하면 벽면에 대한 작용력이 생기고, 이와 동시에 벽면에서는 점입자에 대한 반작용이 나타나면서 점입자는 다른 방향으로 튕겨나가게 된다. 이러한 작용과 반작용의 원리는 생활 곳곳에 응용되는데, 대표적인 예로는 로켓 발사와 제트기 등이 있다. 일반적으로 점입자로 추상화할 수 있는 물체만 이러한 운동 법칙이 적용된다. 더욱 중요한 것은 뉴턴의 운동 제3법칙이 반사와 굴절 현상을 아주 잘 설명해 준다는 점이다.

주변에서 흔히 볼 수 있는 주행 중인 자동차, 뛰어가는 토끼, 날아가는 새 등은 점입자로 추상화해 역학 분석을 할 수 있다. 추상의 좋은 점은 서로 다른 물질 간 형태의 차이를 고려하지 않고 공통된 특성으로 귀납할 수 있으며 물리학 법칙을 통해 운동 궤적을 분석할 수 있다는 것이다. 입자 상태의 물체는 모두 관성의 법칙과 운동의 3가지 법칙을 따른다. 바꿔 말하면 관성의 법칙과 운동의 3가지 법칙을 따르는 물체들을 과학자들은 점입자로 간주했다.

이 상황은 사람들이 고양이와 사자를 떠올릴 때와 비슷하다. 사람들은 흔히 고양이를 ‘작고 귀엽다’고 표현하고, 고양이를 생각할 때 따뜻하고 부드러운 느낌을 떠올린다. 반면 사자는 주로 ‘사납고 용맹하다’고 표현하고, 사자를 생각하면 사납고 거친 느낌을 떠올린다. 과학자들은 사물을 특징에 따라 분류하는데, 물질이 입자의 특성을 갖고 있으면 입자로 간주해 입자의 운동 법칙에 따라 연구하고, 물질이 파동의 특성을 갖고 있으면 파동으로 간주해 연구한다.

파동 이야기

파동은 만물의 두 가지 형태 중 나머지 한 가지로, 입자와는 전혀 다른 특성을 갖고 있다.

물결파는 자연 속에서 가장 흔하게 볼 수 있는 파동의 형태다. 쉬지 않고 세차게 흐르는 강, 끝없이 펼쳐진 바다에는 언제나 크고 작은 파도가 친다. 물결파는 파동 중에서도 횡파에 해당한다. 즉, 파동의 전달 방향과 진동 방향이 수직이라는 의미다.

음파 역시 일상생활 속에서 흔히 접할 수 있는 파동이다. 음파는 목에 위치한 성대의 진동을 이용해 만들어지고, 공기 분자를 통해 전달된다. 음파는 종파에 해당한다. 즉, 공기의 팽창과 수축을 통해 전달되고, 공기 분자의 진동 방향과 소리의 전파 방향이 일치한다는 의미다. 그러나 만약 음파가 금속에 전파되면 이것은 횡파가 되는데, 그 이유는 금속 분자가 상하로 진동하기 때문이다.

현대 사회에서 사람들은 대부분 휴대폰을 사용해 소식을 전달한다. 휴대폰의 원리는 서로 다른 소리가 각각의 진동수에 대응하는 특징을 이용하는 것으로, 소리를 디지털 신호로 변환하고 전자기파를 매질로 사용하여, 전자기파의 송수신을 통해 장거리 통신을 실현한다.

물결파, 음파, 전자기파 등 모든 파동에는 한 가지 공통된 특징이 있는데, 바로 장애물을 우회할 수 있다는 점이다. 이를 파동의 회절 속성이라고 부른다. 예를 들어, 물결은 자갈 등의 장애물을 만나면 돌 뒤로 돌아가 계속 전파된다. 두 사람이 벽을 사이에 두고 이야기해도 건너편까지 말소리가 전달되고, 전자기파가 큰 건물을 만나도 그대로 지나쳐 전파될 수 있는 이유는 모두 파동의 회절 속성 때문이다.

파동이 회절하려면 한 가지 조건을 만족해야 하는데, 그건 바로 파장이 장애물 크기와 비슷해야 한다는 것이다. 그런데 현대 통신 분야의 최첨단 기술인 5G 통신은 마이크로파 통신에 해당하기 때문에 파장이 몇 센티미터, 심지어 몇 밀리미터에 불과하다. 그래서 조금만 큰 장애물을 만나면 쉽게 가로막혀 기술 전문가의 특별한 조치가 필요하다는 단점이 있다.

회절 외에 파동의 또 다른 물리적 특성은 바로 간섭이다. 두 개의 파동이 한 공간에서 만나면 마루와 마루, 골과 골이 만나는 지점에서는 파고가 더욱 높아지고, 골과 마루가 만나는 지점에서는 상쇄 효과가 일어나 새로운 파형이 형성된다. 이러한 현상을 평면에 나타내면 밝고 어두운 줄무늬가 차례로 나타나는데, 이것이 바로 파동의 간섭이다.

이처럼 입자와 확연히 다른 파동의 형태를 갈릴레이나 뉴턴의 운동 법칙으로 설명하는 것은 불가능하다.

리만과 함께 풍선을 관찰해 봅시다 : 시공간을 새기는 도구

풍선과 말안장

다섯 가지 공리

기원전 300년, 고대 그리스의 수학자 유클리드가 유클리드 기하학을 만들었는데, 이는 물질세계가 고도로 추상화된 이후 형성된 자연과학 분야의 학문이다. 그는 주변에서 볼 수 있는 형상들을 삼각형, 정방형, 사다리꼴, 원형 등으로 추상화하고, 논리적 추론을 통해 서로 다른 기하학 형상들 사이의 규칙을 찾아냈다. 오늘날 학생들이 학교에서 배우는 기하학 도형들과 이와 관련된 여러 가지 문제들은 모두 유클리드 기하학에서 유래한 것이다.

유클리드 기하학은 굉장히 엄격한 체계로 이루어져 있고, 논리적으로도 자기 일관성을 이루었다. 유클리드는 저서 ‘기하학 원론’에서 다음과 같은 다섯 가지 공리를 제시했다.

(1) 한 점에서 다른 한 점으로 직선을 그을 수 있다.

(2) 유한한 직선을 직선으로 연장할 수 있다

(3) 임의의 지점을 중심으로 임의의 거리를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

(4) 모든 직각은 서로 같다.

(5) 직선 밖의 한 지점을 지나 주어진 직선과 평행한 직선은 하나뿐이다.

유클리드 기하학의 모든 이론은 바로 이 다섯 가지 공리를 바탕으로 만들어졌다.

유클리드 기하학에는 삼각형 내각의 합이 180도라는 아주 중요한 결론이 등장한다. 유클리드는 사람들에게 삼각형을 세 부분으로 나눠 세 개의 각을 합쳐 놓으면 하나의 직선이 만들어진다고 설명했다. 그러자 사람들은 직접 삼각형 물체를 가져와 실험을 했고, 정말로 직선이 만들어진다는 사실을 발견하고 크게 놀랐다.

유클리드 기하학 탄생 후 2000여 년 동안, 많은 사람이 유클리드의 저서 ‘기하학 원론’을 연구했고, 이 과정에서 유클리드 기하학 원리는 대부분 앞의 네 가지 공리를 바탕으로 추론해서 얻어진 결론이라는 사실을 깨달았다. 다섯 번째 공리는 거의 사용되지 않고, 게다가 앞의 네 가지 공리에 비해 내용도 긴 편이다. 그렇다면 앞의 네 가지 공리를 통해 다섯 번째 공리를 증명하고, 생략하는 방법은 없을까?

1826년 러시아의 수학자 니콜라이 로바체프스키가 이 다섯 번째 공리에 대한 새로운 관점을 제시했다. 그는 먼저 다섯 번째 공리에 아무런 오류도 없다고 가정하고, 다음과 같이 다섯 번째 공리에 모순되는 명제를 도출했다.

직선 밖의 한 지점을 지나 주어진 직선과 평행한 직선은 적어도 두 개 있다(로바체프스키 공리).

로바체프스키는 유클리드의 다섯 번째 공리를 위의 공리로 대체하고, 기타 네 가지 공리와 함께 유클리드 기하학의 모든 명제를 증명하려고 했고, 만약 증명 과정에서 논리의 모순이 나타나면 다섯 번째 공리를 증명한 것이나 다름없었다. 로바체프스키의 이러한 방식을 수학에서 반증법이라 부른다.

그러나 로바체프스키는 모든 증명 과정에서 논리적인 모순을 찾을 수 없었고, 다음과 같은 두 가지 결론에 도달했다.

(1) 다섯 번째 공리를 증명할 수 없다.

(2) 자신이 제시한 공리로도 완전하고 논리적인 기하학 체계를 만들 수 있다.

로바체프스키의 창조적인 연구는 비유클리드 기하학 역사의 문을 새롭게 열었고, 그의 기하학 체계는 로바체프스키 기하학이라는 이름으로 불리게 되었다.

로바체프스키 기하학에서는 삼각형 내각의 합이 180도보다 작을 수 있다는 중요한 결론을 내렸다. 말안장 모양의 물체를 찾아 직접 그 안에 삼각형을 그려보면 삼각형 모양이 움푹 파여 있는 것처럼 보이고, 내각의 합이 180도보다 작다는 것을 알게 된다.

이처럼 쌍곡 기하학이 존재한다면, 분명 구면 기하학도 존재할 것이다. 구면 기하학에서 삼각형 내각의 합은 180도보다 크다.

1854년 독일의 수학자 베른하르트 리만은 유클리드 기하학의 다섯 번째 공리를 다음과 같이 수정했다.

직선 밖의 한 지점을 지나 주어진 직선과 평행한 직선은 없다(리만 기하학).

리만은 자신이 제시한 공리와 유클리드 기하학의 기타 네 가지 공리를 결합해 더욱 완전한 기하학 체계를 완성했는데, 이것이 바로 리만 기하학이다.

우리가 서 있는 지표면은 구면이다. 만약 무한히 연장되는 두 개의 줄자를 평행하게 놓고, 리만의 다섯 번째 공리를 바탕으로 생각해 보면 두 개의 줄자는 지표면의 특정 지점에서 교차하게 된다. 적도와 위도는 평행하지 않느냐고 묻는 사람도 있을 것이다. 그러나 위도는 지구 표면에 대해 ‘직선’이 아니고, 두 지점 사이의 거리가 최소라는 정의에도 부합하지 않는다.

우주에 대한 고찰

‘과연 우주에는 끝이 있을까?’

이 질문에 대한 답은 무조건 둘 중 하나다. 끝이 있거나, 끝이 없거나. 우주에 끝이 있다면, 우주의 끝과 그 밖의 모습은 어떻게 생겼을까? 견고한 시멘트벽으로 되어 있을까? 반대로 우주에 끝이 없다면 0에서 탄생한 우주가 도대체 어떤 과정을 거쳐 무한한 공간이 된 것일까?

많은 사람들이 머리를 싸매고 고민하는 동안, 아인슈타인이 한 가지 가능성을 제시했다. 바로 ‘우주는 유한하지만 경계가 없다’는 주장이었다.

뫼비우스의 띠의 임의의 한 지점에서 양 끝을 향해 뻗어나가는 직선은 모두 가장자리에 닿지 않는다. 즉, 유한한 형상 안에서 영원히 경계를 찾을 수 없다는 의미다.

우주의 풍경에 대해 아인슈타인은 다음과 같은 예시를 들어 설명했다.

끊임없이 팽창하는 풍선은 끊임없이 가속 팽창하는 우주의 모습과 비슷하다. 풍선 안에 있는 2차원의 어린아이는 어떤 방향으로 걸어가든 영원히 경계에 도달하지 못한다.

뫼비우스의 띠, 클라인 병 그리고 끊임없이 팽창하는 풍선의 공통점은 시공간이 크게 휘어지고, 측지선이 크게 한 바퀴 돌아 다시 원점으로 돌아온다는 점이다. 즉, 우주의 실제 모습은 곡률 R에 의해 결정된다는 말이다. 측정 결과, 본 우주의 시공간 곡률 R은 0에 근접한 것으로 나타났고, 결국 우주는 기본적으로 평평한 공간이라는 결론에 도달했다. 그러므로 실제 우주의 모습은 끝없이 펼쳐진 빈 공간일 가능성이 높다.

우주의 곡률이 기본적으로 0에 근접한다고 해도 일부 구역, 예를 들면 블랙홀 같은 구역에서는 곡률이 아주 높게 나타날 수 있다. 이런 구역에서는 시공간이 크게 왜곡되어, 우리가 상상하지 못한 기이한 구조가 형성될 수도 있다.

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본 정보는 도서의 일부 내용으로만 구성되어 있으며, 보다 많은 정보와 지식은 반드시 책을 참조하셔야 합니다.