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우리는 이미 정육면체가 어떻게 생긴 입체도형인지 잘 알고 있다. 이번 학습으로 이제 여러분은 정육면체를 머릿속으로 생각하기 시작할 것이다.

(1) 정육면체 상상하기 1 - 면

상상력을 충분히 발휘하여, 아래 질문에 답해 보자.

Q1 : 여러분의 머릿속에 있는 정육면체는 어떤 모양인가?

Q2 : 정육면체는 어떤 모양의 면으로 이루어져 있는가?

Q3 : 이런 면들이 어떻게 둘러싸여 있는가?

Q4 : 수학의 관점에서 이 6개의 면은 크기가 같고 완전히 포개어진다. 그렇다면, 그 면들은 또 어떤 위치관계가 있는가?

-정육면체는 대칭성을 가진 입체도형으로 보인다.

-정육면체는 6개의 크기가 서로 같은 정사각형으로 둘러싸여 있는 특수한 육면체이다.

-6개의 정사각형은 서로 연결되어 있다.

-각 면은 모두 4개의 면과 이웃하고, 이웃하는 면과는 서로 수직이다.

-3쌍의 마주 보는 면은 서로 평행하다.

*MATH TALK

임의의 입체도형은 모두 면으로 둘러싸여 있다. 어떤 입체도형을 이해하는 것은 정육면체를 이해하는 것과 같은 것으로, 모두 정육면체를 기본으로 한다. 그러므로, 우선적으로 봐야 하는 것은 입체도형을 둘러싸고 있는 면이다. 우리는 면의 모양에 관심을 두고 면과 면 사이의 위치관계에 주목해야 한다.

(2) 정육면체 상상하기 2 - 모서리와 꼭짓점

우리는 면과 면이 만나 선을 이룬다는 것을 알고 있다. 정육면체에서 서로 이웃하는 두 면의 공통변을 모서리라 부르고, 모서리와 모서리의 공통점을 정육면체의 꼭짓점이라고 부른다.

Q5 : 정육면체의 모서리는 몇 개인가? 여러분은 모서리의 개수를 어떻게 세어보았는가?

Q6 : 정육면체의 꼭짓점은 몇 개인가?

-정육면체의 6개 면은 모두 정사각형이고 각 정사각형은 4개의 변을 가진다. 이것은 곧, 정육면체의 4개의 모서리를 말한다. 그렇다고 정육면체의 모서리는 총 4×6=24개라고 말할 수 있을까? 여러분은 각 모서리가 실제로 두 정사각형의 변이라는 것을 알아냈을 것이다. 그러므로 방금 했던 계산은 모서리를 2번씩 센 것임을 알 수 있다. 따라서 정육면체의 모서리는 모두 24÷2=12개이다.

-정육면체는 3세트의 서로 평행인 모서리를 가진다. 정육면체에서 우선 평행인 모서리 4개를 보자. 수직인 것을 한 묶음으로 보면 4개의 모서리가 있으며, 또 한 묶음은 우리를 향하고 있는 4개의 모서리이다. 그러므로 모두 4×3=12개의 모서리가 있다.

-정육면체는 8개의 꼭짓점을 가진다. 각 꼭짓점에서 서로 수직인 3개의 모서리가 만난다. 각 모서리의 양 끝점은 바로 정육면체의 꼭짓점이 된다.

-각자의 머릿속에 있는 정육면체를 떠올리며 한 단계 더 나아가 생각해 보자. 정육면체는 크기가 모두 같은 6개의 정사각형의 면으로 둘러싸여 있다. 이 면은 서로 수직 또는 서로 평행이다. 정육면체는 12개의 모서리, 8개의 꼭짓점을 가진다.

-우리는 두 점을 이으면 선분 하나를 만들 수 있음을 안다. 다시 아래에서 모서리를 제외한 부분 즉, 정육면체 내부를 살펴보도록 하자.

(3) 정육면체 상상하기 3 - 내부를 연결한다

Q7 : 정육면체 12개의 모서리를 제외한 8개의 꼭짓점으로 만들 수 있는 선분이 있을까?

Q8 : 이런 선분을 그을 수 있다면, 어떻게 설명할 수 있을까?

Q9 : 이런 선분은 어떤 관계를 가질까? 또 이런 선분을 분명하게 그을 수 있을까?

얻을 수 있는 논의 결과

-8개의 꼭짓점에서 동일한 면에 서로 이웃한 두 꼭짓점으로 12개의 모서리가 만들어진다.

-서로 이웃하지 않은 꼭짓점일 때, 두 가지 상황으로 나누어 생각해 볼 수 있다. 하나는 정육면체의 각 면에서 대응하는 선분 또한 정사각형의 대각선으로, 이들은 서로를 반으로 나누든다. 모두 2개가 있으므로 6개의 면에서 이런 선분은 총 12개이다.

-또 다른 하나는 이웃하지 않은 꼭짓점이 정육면체를 둘러싸고 있는 정사각형에 포함되지 않는 것으로, 이런 임의의 꼭짓점으로 연결된 선분은 정육면체의 내부에 있다. 이런 형태의 선분은 총 4개가 있고 그것들의 길이는 서로 같으며, 모두 한 점에서 만나고 서로 다른 선분을 반으로 나누든다. 다시 말하면, 이 점으로부터 정육면체의 각 꼭짓점에 이르는 거리는 서로 같다. 이 점은 정육면체의 중심이 되므로 우리는 그것을 정육면체의 중심이라 부를 수 있다.

(4) 정육면체 상상하기 4 - 더 많은 변화

생각 1

이 중심을 기준으로 정육면체를(사각지대 없이 앞뒤좌우 모두) 360° 회전한다고 하자. 회전하는 과정에서 정육면체의 8개의 꼭짓점이 나타내는 궤도로 새로운 입체도형이 만들어진다고 할 때, 여러분은 이 도형이 어떤 모양일지 예상할 수 있는가? 그리고 이 입체도형과 정육면체의 중심은 어떤 관계가 있을지 설명해 보자.

회전할 때, 이 8개의 꼭짓점과 중심의 거리는 항상 일정하게 유지된다. 그래서 이 8개의 점의 운동궤도는 구면이다. 정육면체는 이 구면에 딱 들어맞게 내접한다. 구의 중심은 정육면체의 대칭중심이 된다. 이 점을 정육면체의 각 꼭짓점과 연결한 선분은 구의 반지름에 해당하는 부분이다. 여러분은 이 두 입체도형의 상호 간의 위치관계를 생각해냈는가?

아래에서 계속 공간 안의 입체도형을 생각해 보자.

생각 2

-정육면체는 서로 완전히 포개어지는, 크기와 모양이 같은 6개의 정사각형으로 둘러싸여 있다. 이제 우리는 반대로 생각해 보자. 이 6개의 면을 펼쳐, 정육면체를 평면도형으로 바꿔보자. 어떻게 이것이 가능할까?

-여러분이 칼을 하나 가지고 있다고 가정해 보자. 정육면체의 서로 연결되어 있는 6개의 면을 잇는 모서리를 순서대로 자른다. 그러나 서로 연결된 공통변을 최소 하나는 가져야 한다. 그런 다음, 이 6개 정사각형의 면을 평면 위에 놓으면 어떤 평면도형이 만들어질까?

-우리가 이런 모양의 평면도형을 정육면체의 평면전개도라고 부른다면, 여러분이 생각해낼 수 있는 서로 다른 정육면체의 평면 전개도는 모두 몇 개인가? 머릿속에서 정육면체의 전개도를 그려, 과연 몇 개나 만들 수 있을지 생각해 보자.

*MATH TALK

우리는 정육면체를 실물로 가져오거나 그리지 않았지만, 여러분의 머릿속에는 저마다 떠올리는 정육면체가 있다. 수학 공부는 결국 머리를 많이 쓰는 것을 의미한다. 기하입체를 공부한다는 것 역시 마찬가지다. 입체도형의 모형을 가져다 놀거나 그림을 그리지 않아도 스스로 상상해낸 정육면체를 연구할 수 있다.

학창시절, 수학 문제는 항상 우리를 따라 다닌다. "왜 이렇게 많은 수학 주제를 다룰까?", "왜 수학 문제를 풀어야 하지?", "수학성적이 생각대로 나오지 않으면 왜 그 원인은 내가 문제를 적게 풀어서 그렇다고들 말할까?" 이런 생각들은 누구나 한 번쯤 해 봤을 것이다.

문제를 얼마나 풀었느냐에 따라 문제해결능력이 결정되는 것처럼 보일 때가 있다. 하지만 현실은 우리가 박대한 시간을 투자하여 최대한 많은 양의 문제를 푼다고 하더라도 수학성적이 월등히 향상된다는 보장이 없다는 것이다.

또 한편으로는 문제 푸는 방법을 많이 알고 있을수록 문제해결능력이 높아진다고 생각한다. 여기에서 방법을 많이 알고 있다는 것은 수학 문제를 풀 때 여러 풀이를 제시할 줄 알아야 하고, 나아가 똑같은 수학 문제라고 하더라도 다양한 풀이 방법을 탐구한다는 것을 말한다. 어떤 학생들은 "풀이 방법을 많이 알고 있으면 문제해결력은 자연스럽게 높아진다"라고 말하는데, 과연 그럴까?

정형화된 문제풀이 방법은 우리에게 비교적 익숙하다. 대체로 수학 문제를 형식적으로 분류하고 문제별로 풀이 방법을 제시한다. 최대한 빠르게 문제 유형을 파악해 문제를 풀 수 있도록 하는 것이다.

수학 문제 → 유형 판단

→ 유형1 ··· 방법1

→ 유형2 ··· 방법2

→ 유형3 ··· 방법3

→ 유형4 ··· 방법4

유형 파악 위주로 문제를 풀게 되면, 문제 자체에 대한 이해를 소홀히 하기 쉽다. 문제의 본질을 분석하는 것이 중요하다. 문제 유형을 파악하지 못할 때 우리는 문제를 풀 수 없다고 스스로 단정 짓고 문제를 푸는 것 자체를 포기할 수 있다.

또 물론 많은 문제를 반복해서 푸는 훈련은 문제 유형을 빠르게 파악할 수 있게는 하지만, 입시 문제의 유형은 날로 새로워지고 익숙한 문제가 나오지 않을 수도 있다. 이때 우리는 새로운 문제에 자신이 없어지고 나중에는 문제를 풀 수 없는 지경에 이르기도 한다.

우리가 자주 접하는 수학 문제는 두 가지 요소를 포함하고 있다. 하나는 함수식, 곡선방정식, 공간도형, 수열의 일반항 등과 같은 문제에서 읽을 수 있는 것들이다. 이런 것들은 꼭 하나가 아니라 더 많을 수 있다. 또 다른 요소는 구체적인 문제 풀이를 끄집어내야 한다는 것이다.

*MATH TALK

두 가지를 기억하자.

-문제에서 풀어야 하는 핵심이 무엇인가?

-풀어야 하는 부분을 정확히 파악한 후, 그 다음 단계에서 해야 할 일은 무엇인가?

*MATH TALK

수학 문제를 푸는 방법에는 두 가지가 있다. 하나는 일반적인 방법이다. 문제 핵심의 성질 또는 관계를 연구한다. 또 다른 하나는 구체적으로 풀어야 하는 부분에 대한 풀이 방법이다. 이 방법은 문제 핵심의 성질 또는 관계를 이용하여 구한다.

7 + 5 = ?

7개의 사과에 5개의 사과를 더하면 12개의 사과가 된다. 그런데, 만약 7개의 사과에 5개의 배를 더하라고 하면 어떻게 대답할 수 있을까? 단순하게 모두 12개라고 하기에는 뭔가 찜찜하다. 그러면 왜 12개라는 대답을 할 수 밖에 없을까?

우선, 우리가 생각해야 할 문제는 7이 무엇인지, 그리고 5가 무엇인지이다.

7과 5는 모두 자연수로서 7은 1이 7개이고, 5는 1이 5개이다. 바로 7과 5는 공통의 단위 1을 가진다. 이들은 가감연산을 할 수 있다. 따라서 7 + 5는 7개의 1에 5개의 1을 더하므로 모두 12개의 1이 있다. 그러므로 7 + 5 = 12이다.

다음 몇 가지 문제를 함께 보자.

두 분수의 크기를 비교하거나 서로 더하거나 뺄 때, 분모가 다르면 왜 통분을 해야 할까?

예를 들어, 3/5과 1/2을 보자. 이것은 분모가 서로 다른 분수로 소수 꼴로 바꾸지 않는다면 누가 더 크고 작은지 직접 비교할 수 없고 가감연산도 할 수 없다. 즉, 3/5 = 6/10, 1/2는 5/10로 통분할 필요가 있다. 그 이유는 무엇일까?

실제로 3/5를 살펴보자. 우선 전체를 5등분하여(각 부분은 1/5이다) 한 부분을 기본단위로 한다. 3/5의 뜻은 전체에서 3개의 부분을 차지하는 것으로 기본단위 3개가 된다.

같은 방법으로 1/2을 보면 전체를 2등분하여(각 부분은 1/2이다) 한 부분을 기본단위로 한다. 1/2의 뜻은 전체에서 1개의 부분을 차지하는 것으로 기본단위 1개이다. 3/5와 1/2, 이 두 분수는 기본단위가 서로 다르므로 직접 크기를 비교할 수 없고 서로 가감연산도 할 수 없는 것이다. 그래서 우리는 통일된 모양의 수를 기본단위로 해야 한다. 

그리하여 1/5을 전체로 하여 각 부분을 2등분하면 전체를 10등분한 결과가 되고 1/10이 기본단위가 된다.

같은 방법으로 1/2을 전체로 하여 각 부분을 5등분하면 전체를 10등분한 결과가 되고 1/10이 기본단위가 된다.

기본단위를 통일한 후에 생각해 보자. 원래의 3/5은 5개 중에 3을 차지하는 것이고 이제는 10개 중에 6개를 차지하는 것이므로 1/10이 6개, 6/10이다. 1/2도 1/10이 5개, 즉 5/10가 된다.

이렇게 원래 분모가 서로 다른 두 분수를 통해 통분은 가감연산과 크기 비교를 가능하게 한다는 것을 확인하였다. 분모가 서로 다른 두 분수는 분모를 같게 만들어 주는데, 여기서는 두 개의 서로 다른 등분을 전체로 보고 다시 등분하여 서로 같은 모양의 분수의 기본단위를 만들었다. 이를 기본으로 하여 등분한 분수도 비교가능한 성질을 가진다. 이로써 분모가 서로 다른 분수의 비교와 가감연산을 할 수 있다. 이것이 분수 통분의 본질이다. 분수의 통분과 가감연산에 대해 이해했다면 분수식의 통분과 가감연산도 할 수 있다.

앞에서 7개의 사과에 5개의 사과를 더하면 12개의 사과를 얻을 수 있었다. 여기서 1개의 사과가 곧 기본단위가 된다. 그러나 1개의 사과와 1개의 배는 서로 다른 기본단위로 7개의 사과에 5개의 배를 더하면 그 결과는 사과 또는 배로 표현할 수 없다. 12개의 과일이라고 표현을 바꾸면 여기서 과일은 곧 하나의 공통된 기본단위가 되는 것이다.

우리는 대개 1은 2를 낳고, 2는 3을 낳는다고 말한다. 그러면 1은 바로 사물의 시작점이자 사물변화의 시작점이다. 같은 방법으로 수학도 이 기본 규칙을 반영하는데 이런 규칙은 실제로 우리가 말하는 공리화 생각의 전개이다.

우리가 공부하는 평면기하는 유클리드 기하로서 공리화 사고를 이용하여 연역적으로 완성된 분야이다. 우리가 지금 공부하는 평면기하는 2300여 년 전 유클리드의 《기하학원론》의 원형은 아니지만 기하학이라는 학문의 정교함과 공리화 사고는 여전히 평면기하를 공부하는 가치가 되며, 수학사고능력의 중요성을 충분히 보여준다. 기하지식을 구체화함으로써 우리는 연역추리 사고방법을 키울 뿐만 아니라 기하학에 내재된 공리화 사고의 맥락을 깨우칠 수 있다.

예로, ‘평행선 판정’에 대해 공부할 때, 우선 기본 사실을 공부해야 한다.

“동위각이 서로 같으면, 두 직선은 평행하다.”

이 기본 사실은 어떻게 공부해야 할까?

우리는 이전에 이미 직선자와 삼각자를 이용하여 그림과 같이 평행선을 공부했다. 이 과정에서 삼각자는 어떤 역할을 하는가?

이 결론을 실제실험으로 확인했더라도 여러분은 사실로 받아들일 수 있는가? 우리는 이런 문제를 제기할 수 있다.

‘나는 평행인 두 직선을 그린 적이 있을까?’

‘어떻게 두 직선이 평행이 되도록 그렸을까?’

연필을 잡고 실제로 그려보자. “삼각자 하나를 이용하여 삼각자를 그대로 끌어올려 두 평행선을 그릴 수 있다. 그러면 나중에 오는 삼각자의 역할은 무엇일까? 삼각자를 끌어올리는 과정에 어떤 변화는 없을까?”

우리는 또한 삼각자 하나를 이용하여 두 평행선을 그릴 수 있는데, 두 가지 일반적인 방법이 있다. 하나는 칠판의 모서리를 따라 그대로 올리는 것으로 앞의 방법과 일치한다. 또 다른 하나는 어떤 것에도 의지하지 않고 직접 끌어올려 두 직선을 그리고 이 두 직선이 평행이라고 여길 수 있다. 이런 방법들은 어디서 올 수 있을까?

만약 우리가 스스로에게 묻지 않는다면 스스로 생각하지도 않을 것이다. 자세히 생각해 보면 바로 알 수 있다. 마치 직선자 하나에 의지하지 않더라도 마음 속에는 여전히 직선자가 있는 것처럼 여기고, 직선을 따라 위로 평행이동하는 것으로 그려진 두 직선은 서로 만나지 않는다는 결과를 얻게 된다.

*MATH TALK

평행선 판정방법 : 두 직선을 동시에 지나가는 직선을 그었을 때, 동위각이 서로 같으면 두 직선은 평행하다.

이어서, “엇각이 서로 같으면 두 직선은 평행하다”와 “동측 내각이 서로 보각이 되면 두 직선은 평행하다”를 공부할 때 방금 알게 된 기본사실로 추리하여 엄밀한 추론논증을 한다.

평행선의 성질을 공부하기 전에 우리가 알아야 할 것은 앞의 내용에서 ‘두 직선의 평행을 판정하는 방법을 어떻게 알아볼 것이냐’이다. 앞에서 언급한 공리화적 사고를 이용하여 두 직선을 판정하여 표현할 수 있는데, 이때 스스로 공리화적 사고를 하고 있는지 확인해야 한다. 그런 다음에는 두 평행선 성질을 자연스럽고 논리적으로 알 수 있을 것이다. 즉, 공리화적 사고에 따르는 것은 공리(두 평행선은 동위각이 서로 같다)와 더불어 이 기초 위에 다른 두 평행선의 성질을 도출할 수 있게 된다.

수업 중에는, 두 평행선이라는 전제하에 동위각이 서로 같다는 결론은 각도기를 이용하여 확인할 수 있는데 이 또한 이제 막 평면기하 공부를 시작할 때 자주 사용하는 검증방식이다. 그러나 이런 방법은 지양해야 하는데, 이것을 수학논증의 한 방법이라고 착각하지 않길 바란다. 각도기를 이용하여 확인하는 것은 수학에서 정리가 아니고 여러분이 결론으로 받아들이는 기본적인 사실일 뿐이다. 수학을 공부할 때 이렇게 확인하는 것은 그렇게 많지 않지만 간혹 평면기하를 처음 공부하는 단계에서 후자의 방법으로 기본사실을 확인하는 경우가 있다.

“두 평행선에서 엇각이 서로 같다 혹은 동측 내각이 보각이다”를 공부할 때에도 각을 직접 재서 확인하는 것이 하나의 방법이 될 수 있는데, 이것은 평면기하의 공리화적 사고에 위배된다.

평행선의 첫 번째 성질 “두 평행선에서 동위각은 서로 같다”를 공부할 때, 반증법을 이용하는 것이 아니라 이 성질 간의 성질로 정리를 만들려고 하는데 이것 또한 공리화적 사유의 기본을 이해하지 못한 것으로, 엄밀하게 확인하려고 하다가 오히려 사유의 방법을 위배하는 결론을 얻게 되는 것처럼 보인다. 

“7+5가 왜 12인가요?”라고 되묻는 과정에서 우리는 공리화적 사고가 모든 수학 공부에서 꼭 필요하다는 것을 알 수 있다. 수학을 공부하는 것은 우선 수학을 사고하는 방법을 이용하여 문제를 이해하는 것이다. 공리화적 사고는 우리가 수학지식을 이해하는 창을 활짝 열어준다.

기하학습에서 이런 기본단위(또는 기본량)의 사고는 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어, 평면기하에서 점과 직선은 기하도형의 가장 기본이 되는 기하원소로, 이것은 다양한 기본도형(삼각형, 사각형 등)을 구성한다. 원도 기본도형으로, 이것과 직선형의 기본도형은 또한 더 복잡한 도형을 만든다.

기하입체에서 점, 선, 면과 같은 이런 기본원소를 제외하고 기본 기하입체(정사면체, 정육면체 등)도 복잡한 공간기하입체의 기초를 구성한다. 이것은 복잡한 공간기하입체를 공부하는 출발점이 된다.

이런 관점에서 중고등학교에서 배우는 모든 과정의 수학내용은 기본단위(또는 기본량) 사고 아래 그들 간의 공통적인 성질을 찾는 것으로 학교에서 배운 수학지식은 하나의 독특한 관점을 가지도록 한다.

당연하게도 이런 관점을 가지는 것이 공리화의 수학사고이다. 대수, 기하를 막론하고 기본단위(또는 기본량)는 공리화 체계에서 수학의 연역을 실현케 한다.