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눈부신 수학

꽃잎 속에 숨겨진 숫자의 비밀 [피보나치수열]

당신은 이런 수의 나열(이렇게 수를 나열한 것을 수열이라고 한다)을 본 적이 있는가?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,..

이 유명한 수열은 피보나치 수열이라 불리는데, 이웃한 두 숫자를 더하면 그다음 숫자가 된다는 법칙으로 숫자를 나열한 것이다. 이 수열에 나오는 숫자를 피보나치 수라고 부른다.

피보나치 수열이라고 하면 토끼의 번식과도 관계가 있었던 걸 어렴풋이 기억하는 사람도 있을 것이다. 실제로 피보나치(이탈리아의 학자)가 1200년쯤에 쓴 책에 '처음에 토끼 한 쌍이 있었는데, 한 달 후에 어른이 된 암토끼가 두 달 후에 새끼 토끼 한 쌍을 낳는다고 하자. 어른이 된 암토끼는 매달 새끼 토끼 한 쌍을 낳고, 새끼 토끼는 두 달 후부터 또 새끼 토끼 한 쌍을 낳는다는 법칙(토끼는 죽지 않는다고 가정한다)이 적용된다면 1년 후에 토끼는 몇 쌍이 될까?'라는 문제가 있는데, 여기서 피보나치 수가 등장한다.

참고로 이 문제는 13번째 피보나치 수, 즉 처음에 나열한 수열에서 마지막에 쓰여 있는 233이 정답이다.

사실 이 피보나치 수는 주변 곳곳에도 숨어 있어 우리 생활에 알록달록 색을 입혀 준다. 예를 들어 꽃잎의 개수가 그렇다. 붓꽃이나 자주닭개비의 꽃잎은 3장, 벚꽃이나 도라지꽃의 꽃잎은 5장, 코스모스의 꽃잎은 8장이며 바로 보이는 것처럼 피보나치 수열의 법칙을 만족한다. 뭐, 3이나 5는 소수이기도 하니까 이 예시만 보고 꽃잎의 수가 피보나치 수라는 것은 살짝 억지인 느낌도 든다. 하지만 '데이지 같은 국화과 식물의 꽃잎은 13. 34, 55, 89장인 것이 많다'라는 예시를 알게 되면, 확실히 꽃 중에는 꽃잎의 개수가 피보나치 수와 관계가 있을 것도 같다는 생각을 떨칠 수 없다.

하루하루 생활에 쫓기다 보면 새삼 꽃을 구경할 기회가 드물지만, 가끔 길에 핀 예쁜 꽃을 발견하거나 꽃집을 지나갈 때 오색 빛깔의 꽃이 눈에 들어오면 마음이 차분해지면서 살며시 행복한 기분에 젖는다. 그런데 그 가녀리고 예쁘장한 모양이 수학의 세계와 피보나치 수라는 개념으로 이어져 있다는 사실을 발견하게 되면, 의외로 수학이란 학문이 우리 주변 곳곳에 숨어 있다는 게 실감 나지 않는가? 바쁜 일상에서도 매일 그런 소소한 행복을 느끼고 발견할 수 있을 만큼 마음의 여유를 갖고 싶다는 생각이 든다.

꽃잎의 개수 말고도 해바라기씨나 솔방울의 비늘도 피보나치 수로 배열되어 있다는 이야기는 의외로 유명하다. 그 밖에도 파인애플 껍질, 식물의 잎이나 가지, 줄기, 앵무조개의 나선형 무늬 등에도 피보나치 수가 숨어 있다.

최애의 굿즈, 다 모아봤어? [쿠폰 수집가 문제]

좋아하는 캐릭터나 아이돌 그룹의 굿즈를 모으는 사람들에게 유용한 수학 이야기를 하려고 한다.

5종으로 이루어진 캐릭터 그룹을 좋아하는 팬이 랜덤으로 나오는 굿즈를 살 때의 이야기다. 막연히 내 최애 캐릭터가 나오면 좋겠다는 마음이 아니라 최애 캐릭터가 나올 때까지 사겠다고 마음먹은 경우, 과연 굿즈를 몇 개까지 구매해야 할까?

모든 종류의 굿즈(5종류)가 균등하게 섞여 산더미같이 쌓여 있는 곳에서 순서대로 사는 경우를 상상해 보자.

일단 최애가 5가지 중 한 가지이고 그 최애의 굿즈를 갖고 싶은 경우에는 몇 개까지 사겠다고 마음먹어야 할까?

한 번에 최애를 뽑을 확률은 1/5

두 번 만에 최애를 뽑을 확률은 4/25

세 번 만에 최애를 뽑을 확률은 16/125

이렇게 계산할 수 있다.

이걸 바탕으로 생각하면, 두 번 만에 뽑을 확률은 36%, 세 번 만에 뽑을 확률은 48.8%, 네 번 만에 뽑을 확률은 59%, 다섯 번 만에 뽑을 확률은 67%이다.

일기예보의 강수 확률처럼 이 확률을 기준으로 굿즈를 몇 개 사야 할지 마음의 준비를 해 보자.

다음으로는 최애가 5가지 중 2가지일 경우도 생각해 보자. 둘 중 한 가지만 뽑아도 만족하는 경우다!

한 번에 최애 둘 중 하나를 뽑을 확률은 2/5

두 번 만에 둘 중 하나를 뽑을 확률은 6/25

세 번 만에 둘 중 하나를 뽑을 확률은 18/125

두 번 만에 최애 둘 중 하나를 뽑을 확률은 64%, 세 번 만에 뽑을 확률은 78%, 네 번 만에 뽑을 확률은 87%, 다섯 번 만에 뽑을 확률은 92%이다.

최애가 둘인데 하나만 뽑으면 되는 경우는 최애가 한 가지일 때보다 훨씬 더 빨리 뽑을 수 있다는 사실을 알 수 있다.

최애가 두 가지인데 둘 다 뽑고 싶을 때는 어떨까?

한 번에 둘 다 뽑을 수는 없으니 두 번 이상 뽑아서 둘 다 나올 경우를 생각해 보자.

두 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 2/25

세 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 14/125

네 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 74/625

세 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 19.2%, 네 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 31%, 다섯 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 42.2%, 여섯 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 52.2%, 일곱 번 만에 둘 다 뽑을 확률은 60.8%이다.

마지막으로 캐릭터 5명을 전부 다 모으고 싶을 때는 어떨까?

다섯 번 만에 다 모을 확률은 24/625

여섯 번 만에 다 모을 확률은 48/625

일곱 번 만에 다 모을 확률은 312/3125

여덟 번 만에 다 모을 확률은 8325/78125

여섯 번 만에 다 모을 확률은 12%, 일곱 번 만에 다 모을 확률은 22%, 여덟 번 만에 다 모을 확률은 32%···. 여덟 번째의 확률을 보고 계산하기가 상당히 까다로울 것 같은 느낌을 받았을 것이다.

하지만 확률의 기하 분포·First Success 분포(FS라는 식으로 쓰기도 하는데, 기하 분포의 일종이다-역자)라 불리는 분포의 성질을 이용하면 이 어려운 계산도 쉽게 풀 수 있다.

여기서는 마지막으로 간단히 결과만 소개하겠다.

다섯 명을 다 모으고 싶을 때 구입하는 횟수의 평균은 137/12, 즉 약 11번이 된다.

〈주술회전〉으로 보는 무한히 이어지는 신기한 덧셈 [무한]

'무한'이라는 말은 우리가 평소에도 자주 접하는 말이다. '무한' 하면 어떤 이미지가 떠오르는가? 끝없이 이어지는 느낌을 연상하는 사람도 있을 것이고, 터무니없이 거대한 느낌을 그리며 무한대라는 말을 쓰는 사람도 있을 것이다. '무한으로 수가 커지는 것'을 나타내는 기호로 수학에서는 '00'를 쓴다. 이 수학 기호는 '무한의 가능성', '영원', 'Infinity' 등을 콘셉트로 해서 회사나 상품 광고 로고 등에도 자주 쓰이기 때문에 누구나 한 번쯤은 이 모양을 본 적이 있을 것이다.

이 책을 집필하기 시작하면서 주술회전이라는 인기 만화에 '무한'이 키워드로 나온다는 사실을 우연히 알게 됐다. 인터넷으로 검색을 좀 해 봤더니, 그 만화에 등장하는 인기 캐릭터가 '무하한 주술이라는 술법을 구사하는데, 작중에는 '수렴하는 무한급수 같은 것'이라는 설명도 나와 있다고 한다.

무심하게 툭 적혀 있지만, 이 '수렴하는 무한급수'란 엄연한 수학 용어다. '무한급수'란 무한히 이어지는 덧셈을 말하는데, '수렴한다'라는 건 그 값이 어떤 값에 한없이 가까워지는 것을 뜻한다.

주술회전을 인터넷에 검색해 보고 호기심이 생긴 나는 '무하한 주술'에 대한 설명이 나와 있다는 8권을 일단 사 봤다. 그랬더니 '수렴하는 무한급수'라는 설명뿐만 아니라 '아킬레우스와 거북이'라는 용어까지 나와 있는 것이 아닌가. 바로 이 2개의 키워드가 이번 장에서 내가 소개하고 싶었던 것들이었다!

무한급수, 그리고 아킬레우스와 거북이 이야기. 둘 다 '무한'에 얽힌 이야기인데, 똑같은 '무한'이라 해도 보는 관점은 천지 차이다.

'무한'이라는 말 자체가 살짝 까다로운 대상인데, 철학적 입장과 수학적 입장에서 해석하는 방법이 몇 가지나 있다. 그 다양한 해석 속에서 가끔은 모순이 나오기도 하고, 신비로우면서도 신기한 현상이 일어나기도 한다. 아킬레우스와 거북이 이야기를 하기 전에 살짝 특이한 술래잡기 이야기를 먼저 풀어 보려고 한다.

이름하여 '너만 보인단 말이야! 집착이 심한 술래와의 술래잡기'이다. 아이들이 술래잡기를 하고 있다. 그런데 지금 술래는 집착이 심하다. 어느 순간에 목표물 A가 시야에 들어오면 A는 계속 그곳에 있을 거라고 믿고 오로지 그곳만 보며 달려간다. 하지만 보통 술래잡기를 할 때는 다들 여기저기 도망가느라 한곳에 머무르려 하지 않는다. 그래서 술래가 A를 목격한 장소에 꽂혀 달려가는 동안에 A는 다른 장소로 이동한다. 술래가 이 방법을 끝까지 고수해 봤자 아예 처음부터 술래의 눈앞에 A를 대령해 놓는 특수 상황이 아닌 이상 영원히 A를 잡지 못한다.

이 술래잡기에 속도 차이의 개념을 더한 것이 그 유명한 ‘아킬레우스와 거북이’라는 에피소드다. 이는 고대 그리스의 철학자 제논이 남긴 유명한 패러독스(얼핏 타당해 보이는 추론에서 받아들이기 힘든 결론을 얻을 수 있다는 뜻-역자) 중 하나다.

[아킬레우스와 거북이]

빠른 발로 유명한 아킬레우스와 거북이가 달리기 경주를 한다. 아킬레우스는 거북이보다 10배 더 빨리 달릴 수 있다고 하니 거북이는 아킬레우스보다 100m 앞에서 출발하기로 했다. 동시에 출발하여 아킬레우스가 100m를 이동한 시점에 거북이는 10m 앞에 있다. 또 아킬레우스가 10m를 움직이면 이번에 거북이는 1m 앞에 있다. 아킬레우스가 거북이를 따라잡으려 해도 거북이는 늘 조금씩 앞서가

기 때문에 이론상 영원히 따라잡지 못한다.

아킬레우스와 거북이의 일화를 오랜만에 다시 읽고 어떤 생각이 들었는가? '일직선 위에서 술래잡기를 하는데 술래가 A보다 10배 더 빨리 달릴 수 있다는 조건을 달았구나' 정도만 생각을 했을 것이다. 이 일화만 읽으면 논리적으로 틀리지 않은 것처럼 보이지만, 현실적으로는 아킬레우스가 거북이를 따라잡는다. 그게 바로 패러독스인 것이다.

현실의 상황과 똑같이 수학적으로 계산해 보자. 아킬레우스가 이동한 거리를 xm라고 했을 때, 출발 지점부터 111m 정도 떨어진 지점에서 아킬레우스는 거북이를 따라잡는다는 사실을 알 수 있다.

‘아킬레우스와 거북이’의 논쟁에서 아킬레우스는 거북이를 따라잡지 못하는데, 왜 수학적으로 계산하면(무한급수를 계산하면) 아킬레우스가 거북이를 따라잡는다는 것일까?

그것은 ‘무한’을 바라보는 관점이 다르기 때문이다.

‘아킬레우스와 거북이’에서는 행위를 무한 번 반복한다는 것이 불가능하다는 입장이고, 수학적(무한급수의 계산)으로는 ‘n이 무한히 커진다면’이라고 가정하는 시점에서 이미 무한 번의 행위를 인정하는 것이다. 그 ‘무한’에 대한 입장의 차이 때문에 패러독스가 생기는 것이다.

주술회전에 등장하는 인물 중에서 고죠 사토루는 무하한 주술에 대해 "수렴하는 무한급수와 비슷한 건데, 나에게 접근하는 자는 점점 느려지다가 결국엔 도달하지 못하게 되지."라고 설명했다. 이는 그림 '정사각형과 무한급수'처럼 더해지는 값이 점점 작아져 수렴하는 느낌일까? 그리고 자신의 기술에 대해 "아킬레우스와 거북이야. "라고도 말했는데, 상대의 기술이 자신에게 도달하지 못하는 것을 아킬레우스가 거북이를 따라잡지 못하는 모습에 비유했던 것일까? 고죠 선생은 속도에 관해서는 수학적 무한 입장, 거리에 관해서는 철학적 입장으로 상황을 다룰 수 있는 걸까? 막연히 이런 생각을 해 보았다.

세상에서 가장 아름다운 채소의 비밀 [프랙탈]

세상에서 가장 아름다운 채소로 손꼽히는 로마네스코. 콜리플라워의 일종으로 마치 황록색 소용돌이가 치는 듯한 모양이 인상 깊다. 여기서는 로마네스코의 특징적인 모양에 어떤 비밀이 숨어 있는지 살펴보려고 한다.

로마네스코에서 송이를 하나 떼어내 보면 처음에 봤던 로마네스코의 전체 모양과 꼭 닮았다는 걸 알 수 있다. 여기서 그치지 않고 이 작은 로마네스크 한 송이를 또 떼어내 보면 역시나 큰 로마네스코의 모양과 꼭 닮았다.

이처럼 전체와 부분이 닮은꼴(모양이 같고 크기가 다름) 관계에 있는 특징을 '자기 유사성'이라고 하며 양치식물의 잎이나 나뭇가지, 리아스식 해안이나 구름 모양등 자연계 곳곳에서 발견할 수 있다.

20세기 초반에 영국의 수학자이자 기상학자인 리처드슨은 국경을 경계로 인접한 두 나라에서 발표한 국경선의 길이가 다르다는 사실을 알아챘다. 예컨대 스페인과 포르투갈을 구분 짓는 국경선은 분명 같을 텐데 스페인 쪽은 987km, 포르투갈 쪽은 1,214km로 다른 값을 주장했던 것이다. 왜 이런 일이 생긴 것일까?

사실 이는 사용하는 지도의 축척에 따라 국경선의 측량값이 다르기 때문에 생기는 차이다. 국경선이나 해안선은 어떤 도구로 그 길이를 재든지 상관없이 축척을 크게 한 지도를 써서 측량하면 확대가 되기 때문에 더 세세한 부분까지 보인다. 그렇게 새로 보이게 된 울퉁불퉁한 지형을 따라서 재니까 길이가 더 길어지는 것이다. 이것을 '해안선의 패러독스'라고 한다.

예를 들어 미국 CIA의 The World Factbook에는 일본의 해안선 길이가 29,751km로 등재되어 있는데, 일본의 국토교통부가 기재한 해안 통계는 35,278km다(2023년 8월 기준). 국경선이나 해안선을 비교할 때는 같은 축척으로 잰 측량값을 사용해야 한다.

프랑스의 수학자 망델브로는 IBM 연구소에서 면화(목화의 종자 모섬유-역자)의 가격 변동을 알아보던 중에 가격 변동 그래프가 자기 유사성을 띤다는 사실을 알아채고 이러한 특징을 일반화해서 '프랙털'이라고 명명했다.

스웨덴의 수학자 코흐가 만들어 낸 '코흐 곡선'은 대표적인 프랙털 도형이다. 코흐 곡선은 '선분의 길이를 3등분하고 가운데에 있는 선을 한 변으로 하는 정삼각형을 그린 다음 원래 있던 한 변을 지우고 새로 그린 두 변으로 대체한다'라는 작업을 완성된 변에도 똑같이 반복하여 얻을 수 있다.

여기서 코흐 곡선의 길이를 생각해 보자.

처음에 있던 선분의 길이를 1이라고 했을 때, 삼등분한 변의 가운데 길이의 변이 2개 대체되므로 작업을 한 변이 줄어들고, 그 부분을 한 후의 길이는 국가 된다. 매번 작업을 할 때 각 선분의 길이가 3배가 되므로 코흐 곡선을 전체적으로 봐도 2배 더 길어진다.

이렇게 1보다 큰 수를 곱하기 때문에 이 작업을 반복하면 코흐 곡선의 길이는 무한히 길어진다는 걸 알 수 있다. 양쪽 끝은 고정되어 있어 그 끝이 잘 보이는데도 그 사이의 길이가 무한대로 길어진다니, 정말 신기한 곡선이다.

인간의 체내에서도 혈관의 분기 구조나 대장 내벽 등은 프랙털 구조를 이용함으로써 부피에 한계가 있는 체내에서 길이나 표면적을 효율적으로 늘린다(물론 자연계에서는 무한히 이어지는 자기 닮음이 성립하지 않기 때문에 코흐 곡선처럼 엄밀한 프랙털은 아니다).

게다가 그 복잡한 프랙털 구조를 수치화할 수 있는 '프랙털 차원'이라는 것이 정의되어 있는데, 다양한 분야를 연구할 때 이용되고 있다니 정말 흥미롭다. 코흐 곡선의 프랙털 차원은 1.26으로 계산할 수 있는데, 정수값이 아닌 차원이라니 상당히 놀랍지 않은가?

예를 들어 의료 분야에서는 종양의 양성과 악성, 암의 이형도 추정에 프랙털 차원을 사용한다. 대장 내벽에서 양성 종양의 프랙털 차원은 평균이 1.38 정도인데, 암은 1.50 이상이라는 보고가 있다.

또한 어느 슈퍼 사이언스 하이스쿨에서는 고등학생이 온갖 만화에 대한 도안의 프랙털 차원을 계산함으로써 이야기의 기승전결과 함께 도안이 얼마나 복잡하게 변화해 가는지를 조사하는 연구도 이루어지고 있다.

로마네스코가 다 삶아졌으니 한번 먹어보자. 그러고 보니 로마네스코의 나선에도 피보나치 수가 숨어 있으니 먹을 때 나선의 개수를 한번 세어 보는 건 어떨까?

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본 정보는 도서의 일부 내용으로만 구성되어 있으며, 보다 많은 정보와 지식은 반드시 책을 참조하셔야 합니다.