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세상을 바꾼 수식

Prologue 수식은 어떻게 세상을 바꾸는가

- 수식이라는 렌즈로 무엇이 보일까?

수식 독해력으로 길러진 사고력은 잉여 부분을 버리고 본질을 드러내게 하는 ‘Simple is best’가 장점입니다. 세상의 다양한 과제를 수식이라는 렌즈를 통해서 바라보면 그 본질이 드러나며 해결책이 떠오르거나 뜻밖의 응용 방법을 깨닫게 됩니다. 인류의 문명은 이러한 과정을 거치며 진보하였습니다.

현재도 마찬가지로 세상은 수식을 엔진으로 삼으며 진보를 이어 나가고 있습니다. 수식은 ‘본질을 보기 위한 돋보기’입니다.

세상은 어려운 과제와 복잡한 문제로 가득합니다. 그리고 그 과제를 해결하기 위해 노력하는 사람, 복잡한 문제를 이해하기 위해 배움에 정진하는 사람이 있습니다. 이러한 사람들은 ‘본질을 보는 돋보기’인 수식을 구사하여 핵심에 다가가고자 합니다. 그들은 발견한 법칙성을 새로운 수식으로 나타내고 논문과 책으로 세상에 전달합니다.

이렇게 탄생한 수식을 배움으로써 온 세상 누구나 똑같은 본질을 꿰뚫어 볼 수 있습니다. 수식은 언어와 달리 누구에게나 똑같은 의미를 지니기 때문입니다.

y=3x+1이라는 수식을 예시로 들어 보겠습니다. 이 수식은 세상 모든 사람이 ‘x를 3과 곱한 뒤에 1을 더한다’라고 파악할 수 있습니다. 아주 명쾌합니다. 수식은 단 하나의 해석만 존재합니다.

이 세상의 누군가가 처음으로 밝혀낸 뒤에 수식이 만들어집니다. 이에 관한 지식만 있다면 문화, 언어, 정치 제도와 관계없이 온 세상 구석구석까지 사물의 본질을 이해하는 사고가 침투합니다. 게다가 시간을 뛰어넘어 수백 년, 수천 년 뒤에도 수식은 계속 살아 있습니다.

수식은 극도로 객관적이라는 강점이 있기 때문에 사람들의 행동을 바꾸는 커다란 힘을 가집니다. 그리고 다른 분야에 응용하거나 새로운 발견으로도 이어질 수 있습니다.

그렇게 사회가 진보하면 새로운 과제가 발생하게 되고, 이 사이클은 반복됩니다.

수식은 진짜 의미 그대로 세계 공용어입니다.

가상현실을 아주 리얼하게 만든 수식

메타버스의 세계는 이것으로 만든다

q=a+bi+cj+dk

- 게임의 주인공과 플레이어의 시점을 일치시키는 계산

요즘 온라인 게임은 현실을 방불케 하는 아름다운 CG(컴퓨터 그래픽. 컴퓨터로 그린 화면과 영상)로 구성되어 있으며, 컴퓨터 속의 가상공간은 점점 현실에 뒤지지 않을 정도로 퀄리티가 좋아졌습니다.

그리고 가상공간의 끝판왕으로 주목을 받는 것이 컴퓨터 안에 만들어진 가상세계 ‘메타버스’입니다. 미국의 대기업 Facebook이 메타버스가 차세대 생활에 큰 영향을 줄 것이라 보고 회사 이름을 Meta(메타)로 바꾼 것이 화제가 되기도 했는데, 우리는 점차 현실 세계의 속박을 벗어나 가상 세계로 생활 반경을 넓히고 있습니다.

메타버스와 3D 게임 속 세계는 항상 주인공의 시점으로 영상이 전환됩니다. 정면을 보던 주인공이 유저의 조작에 따라 왼쪽으로 90° 회전하게 되면, 주인공의 눈에 비치는 세계(유저가 보는 모니터에 비치는 영상)도 90° 돌아갑니다.

현실 세계에서 사람이 고개를 움직이면 시점도 같이 전환되는 것은 당연하지만, 가상현실 안에서는 이를 똑같이 재현하기 위하여 컴퓨터는 뒤에서 방대한 양의 계산을 하고 있습니다. 아무래도 모니터와 VR 고글에 비치는 영상을 플레이어 시점의 움직임에 맞춰서 재빠르게 전환해야 하기 때문입니다.

다시 말해서 컴퓨터는 플레이어의 시점이 변했을 때 현실 세계에서 보이는 모습, 그러니까 모니터에 어떤 영상이 나와야 하는지 순식간에 계산하여 플레이어가 현실 세계에서 느끼는 시야와 비교해도 위화감이 없을 정도로 빠르게 영상을 전환합니다.

컴퓨터가 하는 계산을 이해하기 쉽게 말하자면, 시점의 회전에 맞추어 영상 데이터를 다양한 방향으로 회전시키는 것입니다. 정면을 보던 플레이어가 왼쪽을 바라본다고 가정하면, 플레이어의 시선은 반시계 방향으로 90° 회전한다는 뜻입니다. 여기에 맞춰서 보이는 배경도 90° 회전합니다. 이런 식으로 플레이어의 시점 변화는 수학적으로 보았을 때 회전에 해당합니다.

따라서 컴퓨터는 VR 고글을 쓴 플레이어가 고개를 다른 방향으로 틀거나, 컨트롤러로 3D 게임의 주인공이 달리는 방향을 바꾸는 등의 조작에 맞춰서 영상을 고속으로 회전시키는 계산을 한다는 뜻입니다.

회전의 계산은 복잡하므로 아무리 컴퓨터라도 쉬운 일이 아닙니다. 현실 세계와 달리 메타버스와 3D 게임의 배경은 작은 빛의 점(도트)이 모인 것이기 때문입니다.

스마트폰 화면에 물방울이 묻었을 때, 그 부분이 무지개 색 모자이크처럼 보이는 현상을 본 적이 있으신가요? 이는 스마트폰에 비치는 화면이 빨강, 파랑, 초록의 3종류 색깔(3원색)로 구성된 작은 도트가 모여서 만들어진 것이기 때문입니다.

화면에 묻은 물방울이 렌즈처럼 작용하여 작은 도트가 확대되어 보이는데, 이 부분이 모자이크 모양으로 보이게 되는 것입니다.

이렇게 컴퓨터가 비추는 CG 영상은 모두 작은 빛의 점을 배치하여 만든 것입니다. 따라서 플레이어의 움직임에 맞춰서 영상을 회전시킬 때는 이 모든 점을 한번에 변화시켜야 합니다. 계산이 방대해지는 이유입니다.

게다가 온라인 게임과 메타버스의 유저는 똑같이 움직이지 않습니다. 각자 다른 타이밍과 방향 및 속도로 시점을 전환하기 때문에 상황마다 보여야 하는 영상의 종류, 다시 말하면 회전의 종류가 수없이 많습니다. 그래서 컴퓨터는 수천 만, 수억 개의 계산을 해야 합니다.

이렇게 많은 회전을 계산해야 하는 상황 속에서 플레이하는 사람이 자연스럽게 느낄 정도로 재빠르게 계산을 실행하기 위해서는, 회전을 간단하게 계산하는 도구가 필요합니다. 이것이 서두의 수식, 쿼터니언(사원수)입니다.

- ‘회전’은 ‘제곱하면 마이너스가 되는 수’로 나타낸다

사원수는 19세기 아일랜드의 수학자 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)이 그 개념을 주장했습니다. 해밀턴은 물체를 3차원 안에서 다양한 방향으로 회전시켰을 때, 회전 후의 자세가 어떻게 변하는지 계산하는 방법을 생각했습니다. 그는 수학자였으므로 업무 차원에서 단순히 수학의 발전을 위해 이러한 연구를 진행했습니다.

좀처럼 좋은 생각이 떠오르지 않아서 전전긍긍하던 그는 어느 날, 아내와 함께 브룸 다리를 건너다가 사원수의 아이디어를 떠올렸습니다. 그는 발견했다는 흥분을 감추지 못하고 그 자리에서 브룸 다리의 돌에 사원수의 수식을 새겼다고 합니다.

이 수식에 나오는 문자 i는 ‘허수 단위’라고 부르며 수의 일종입니다. 하지만 일반적인 수와 다릅니다. i는 자기 자신을 곱하면(=‘제곱한다’라고 말합니다) -1이 되는 신기한 수입니다. 보통의 수는 제곱하면 0 또는 플러스의 값이 나오므로 마이너스가 나올 일은 없습니다. 마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스의 수가 나오기 때문입니다. -2×-2=4처럼 말입니다. 플러스의 수끼리 곱하여도 결과는 플러스가 나옵니다. 3×3=9처럼 말이죠.

허수 단위를 사용하면 ‘회전’을 간단히 나타낼 수 있습니다.

제곱하여 마이너스가 되는 수, 우리가 사는 세상에서 이렇게 이상한 수를 생각할 필요가 있는지 의문이 듭니다. 하지만 수학의 세계에서는 허수 단위 i를 사용하지 않으면 성립하지 않는 계산이 아주 많습니다. 3차원 방정식(□x³+○x²+△x+☆=0과 같은 형태의 수식)의 x에 맞는 답을 구하려고 할 때, i를 사용하지 않으면 계산이 되지 않는 경우가 있습니다. 이외에도 수학의 세계에서 i는 없으면 안 되는 존재입니다.

수식이 구축한 모바일 통신이 당연한 생활

sin(θ) cos(θ)

스마트폰도 이것이 없으면 사용할 수 없다

- 디지털 시대의 주역

몇십 년 전까지만 해도 전철에서 신문을 읽는 회사원을 흔하게 볼 수 있었는데, 지금은 뉴스도 스마트폰으로 보는 사람이 많아졌기 때문인지 종이 신문을 읽는 사람들을 좀처럼 찾아보기 힘들어졌습니다.

요즘 시대는 스마트폰만 있으면 전철에서 이동하는 와중에도 최신 시사 뉴스를 보고, 음악을 듣고, SNS로 소통하며 세상과 이어질 수 있습니다.

스마트폰의 편리함을 뒷받침하는 것은 방대한 정보를 전파로 주고받는 ‘모바일 통신’이라는 기술입니다. 보고 싶은 기사와 만화, 듣고 싶은 음악 등은 모바일 통신 기술을 통해 스마트폰으로 전송됩니다. ‘모바일(mobile)’은 영어로 ‘운송 가능한’, ‘이동 가능한’을 뜻하며 이름 그대로 스마트폰을 비롯하여 이동 가능한 단말기의 통신을 지원하는 것이 모바일 통신 기술입니다.

세상이 크게 변하고 있는 지금, 이 기술을 뒷받침하는 모바일 통신 기술의 핵심 부분에 삼각함수가 사용된다는 사실을 알고 계신가요? 삼각함수는 여러분이 분명 학교의 수학 수업에서 배웠을 바로 그 사인, 코사인, 탄젠트를 말합니다.

- 도대체 전파는 무엇일까?

스마트폰의 통신은 기지국(전파의 송수신을 실행하는 장치)을 거쳐서 이루어지므로 수많은 스마트폰이 동시에 통신할 수 있습니다. 또한 원거리로 전파를 보내는 ‘빔포밍’ 기술 덕분에 멀리 떨어진 장소에서도 통신할 수 있습니다.

‘기지국’이라는 이름 때문에 기지처럼 생긴 건물을 떠올릴 수 있는데, 실제로는 송수신 기능이 달린 안테나 같은 물체가 건물 옥상이나 전봇대 등 다양한 장소에 설치되어 있습니다. 건물 내부용 소형 기지국도 있습니다.

그런데 스마트폰 통신에 사용되는 ‘전파’는 도대체 무엇일까요?

전파는 전기와 자기(磁氣)의 파동이며 모바일 통신을 비롯하여 케이블을 사용하지 않는 통신, 다시 말해 무선 통신은 기본적으로 전파를 통해 이루어집니다. 스마트폰뿐만 아니라 라디오, 트랜시버, 인공위성 등도 전파를 사용하여 통신합니다.

참고로 라디오 이야기를 하다 보면 종종 ‘AM’, ‘FM’이라는 단어를 듣게 되는데 이는 전파의 조정에서 유래하였습니다. 전파를 사용하여 떨어진 장소에 정보를 보내는 기술은 현대에 각종 분야에서 사용되고 있습니다.

수신한 전파는 스마트폰에 내장된 컴퓨터가 처리한 뒤에 우리가 즐기는 콘텐츠로 재생됩니다. 수신한 전파를 컴퓨터가 처리할 때 삼각함수가 사용됩니다.

전파(電波)는 ‘파동’이라는 뜻이 들어간 것을 통해 알 수 있듯이 일정 주기로 물결치듯 움직이는데, 이 파형을 파악하기 위해 삼각함수가 필요합니다.

스마트폰은 내부의 전자 회로를 통해 삼각함수를 사용하여 계산을 실행하고, 수신한 전파를 통해 음악과 영상 등의 정보를 추출합니다.

- 전파로 메시지를 전달하는 방법

전파는 파동의 한 종류입니다. 그렇다면 삼각함수로 나타낼 수 있습니다. 이 부분이 중요한 이유는 공간을 날아다니는 수많은 전파 속에서 원하는 전파를 구별하는 데 사용되기 때문입니다.

디지털 시대에 돌입한 현대에는 통신을 위한 전파가 수없이 날아다니고 있습니다. 거리에는 무수한 스마트폰이 계속 전파를 날리고 있으며 Wi-Fi, 무선LAN도 전파를 사용합니다.

무수히 날아다니는 전파의 대부분은 사용자와 관계가 없는 통신입니다. 따라서 방대한 전파 안에서 수신해야 하는 통신을 구별하고 필요한 것만 수신할 필요가 있습니다.

그래서 ‘MIMO-OFDM’이라고 불리는 기술이 사용됩니다. 이 기술 자체를 설명하기에는 너무 전문적인 이야기가 많으므로 자세한 설명은 생략하겠지만, 한 마디로 정리하면 방대한 전파를 푸리에 변환을 통해 삼각함수로 나타내어 분석하고 사용자와 관계가 있는 통신만 선별하는 기술입니다.

전파를 삼각함수라는 수식으로 바꾸면 아주 정교하게 선별할 수 있게 됩니다. 이 기술이 있기 때문에 수많은 단말기가 혼란 없이 서로 통신을 주고받습니다. 여러분이 문제없이 스마트폰을 사용하는 것은 삼각함수 덕분입니다.

수식으로 인류는 우주를 향해 날아갔다

로켓을 발사하는 시스템

- 전지전능한 신이 주신 ‘운동’

로켓을 제조하려면 고도의 기술이 필요하므로 국산 로켓으로 인공위성을 쏘아 올릴 수 있는 능력을 지닌 나라는 한정되어 있습니다(러시아, 미국, 프랑스, 일본, 중국, 영국, 인도, 한국 등).

기술적으로는 상당히 어렵지만 로켓이 나는 원리 자체는 아주 간단합니다. 로켓은 ‘운동량 보존의 법칙’을 이용해 날 수 있습니다.

‘운동량 보존의 법칙’은 움직이는 물체에 관한 물리 법칙 중 하나입니다. 물체를 움직일 때 가벼운 것은 간단히 움직일 수 있지만 무거운 것을 움직이기는 어렵습니다. 이를 수학적으로 세밀하게 나타낸 것이 ‘운동량 보존의 법칙’입니다.

물체를 움직이기 어렵게 만드는 정도는 무게(질량)와 빠르기(속도)로 결정됩니다. 200g 사과는 밀면 간단히 밀리지만 100kg 금고는 밀어도 간단히 밀리지 않습니다.

‘물체를 움직일 때 질량이 클수록, 그리고 속도가 높을수록 어려워진다면 차라리 이 2가지를 곱하여 어려움의 기준을 하나로 나타내는 것이 어떨까?’

물리학의 세계에서는 이러한 생각을 바탕으로 하여 운동을 논의하는 것이 일반적이며 질량과 속도를 곱한 값에 ‘운동량’이라는 명칭을 붙입니다.

운동량 보존의 법칙

외부에서 힘이 가해지지 않는다면, ‘질량×속도(=운동량)’의 총합은 변화하지 않는다.

이것이 로켓이 나는 원리인 ‘운동량 보존의 법칙’입니다.

- 로켓은 어떻게 나는 것일까?

치올콥스키는 19세기 말에 운동량 보존의 법칙을 활용하면 우주까지도 날아갈 수 있다는 사실을 세계에서 처음으로 깨닫고 로켓의 추진 원리를 고안했습니다.

그는 운동량 보존의 법칙을 바탕으로 하여 로켓을 날리기 위해서 배기가스가 어느 정도의 힘으로 분사되어야 하는지 계산하는 ‘치올콥스키의 공식’을 도출하였습니다. 치올콥스키의 공식은 내용이 다소 복잡하므로 다루지는 않겠지만 이 공식은 로켓 공학의 기초라고 할 수 있습니다.

게다가 그는 우주 정거장(우주에 있는 유인 실험 시설)과 우주 거주구(우주에 떠 있는 거대한 주거 시설) 등의 기술에 관해서도 기본적인 아이디어를 주장하며 ‘지구는 인류의 요람이지만, 평생 요람에서 살 수는 없을 것이다’라는 말을 남겼습니다.

우주로 가는 것은 특별한 체험이라 세계관이 바뀌는 일도 적지 않은 모양입니다. 아폴로 14호를 타고 달 표면에 내려선 에드거 미첼은 지구로 귀환한 다음에 ‘신의 존재를 느꼈다’라고 말하였고, 이후에는 사상가로 활동하며 지냈습니다.

신을 고찰하는 과정에서 탄생한 운동량 보존의 법칙이 로켓의 원리가 되고, 인류를 달로 보내어 신을 느끼게 하였습니다.

우주 기술은 눈부실 정도로 발전하고 있으므로 그리 머지않은 미래에는 우주 공간이 여행지의 후보로 들어설 시대가 올지도 모릅니다. 그때가 오면 우리는 우주에서 무언가를 느낄 수 있지 않을까요?

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본 정보는 도서의 일부 내용으로만 구성되어 있으며, 보다 많은 정보와 지식은 반드시 책을 참조하셔야 합니다.